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需要有一边界,太多无助于垫高

2019-08-25 10:04

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后天高校:暂无。||新闻 ||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥⌊ ⌋⌈ ⌉≠⁻⁰¹ ² ³ᵈ₀ ₁₂₃ᵢ .

前日大学:暂无。||音讯 ||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥⌊ ⌋⌈ ⌉≠⁻⁰¹ ² ³ᵈ₀ ₁₂₃ᵢ .

今天高校:暂无。||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥⌊ ⌋⌈ ⌉≠⁻⁰¹ ² ³ᵈ₀ ₁₂₃ᵢₐ.

今天大学:暂无。||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓←→π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥ ≠⁻⁰¹ ² ³ᵈ₀ ₁₂₃ᵢ .





做“习题”培养不出科学家。

(接前:090705) 命题5.5的证明.

“基础”太多无可奈何于垫高,反而会打散大家。

(接前:070504) 命题5.5的证明.

(接前:121110) 命题5.5的温习.

Since nΩis integral and degHiΩ = d 1, the pair (Z, Supp belongs to a bounded family of pairs depending only on d, n.

(接前:111009) 命题5.5的温习.

Step5. 第二段.

叙述ab; 证明Step1Step2abcStep3Step4Step5abStep6

----Ω 来自Kz 的 n-补 Kz Ω .

叙述ab; 证明Step1Step2abcStep3Step4Step5abStep6

Let Kw' Δw' be the pullback of KZ Δ.

---- 前些天复习了Step6, 前几日复习Step5.

---- n 是整化因子,使得nΩ的周全为整数.

---- 后日做了个粗线条的描摹*.

---- Kz Δ是配成对 的 运算情势.

(Step6也再加点温,参末尾).

----degHiΩ = d 1 怎么来的?

---- 那会儿想细究一下 Step6.

---- W' 是上一步通过MMP 获得的 toric variety.

--------------> Z

---- 这里出现二个新配成对,以Ω 与 Θ 的和之支撑集作为边界,与主集结Z 配对. 它属于有界族.

---- 为此,先做个“基本功课”.

----W' 若想结合配成对,供给有一边界.

----W 来源于 blowups 序列.

Therefore, there is a number u depending only on d, n such that (Z, Ω uΘ) is klt.

按顺时针: 王 、侯、将、相.

---- 而 W' --> Z 构成态射.

---- 对“违和”[注]做MMP 即得 W',并且 -Kw' big.

---- 导出另一配成对,边界为Ω uΘ.

---- 除W外,其他符号都在像空间Z 内.


注:对blowups连串的前l-1个exceptional divisors 求和.

---- 此句话的本来面目是收获了数 u.

---- W 可看做 R 在 Z 上方用 blowup 生成的.

这种情形下可按箭头所指空间的交配,就其运算格局做个“回拉”,带出所需边界.

---- 对 -Kw' 做MMP 即得 W'', 并且 - Kw'' nef & big.

SinceΩw'≥0, we deduce that the coefficient of the birational transtrom of R in ψ*Θis at most 1/u which in turn implies μRφ*Θ≤1/u whereφdenotes W --> Z.

(W和W' 不常借用了“侯”位).

---- 这一个界限要配 W',且与 Z 的境界Δ 或有联系,故采取符号 “Δw'”.

---- W, W', W'' 都是 toric; , , 都是 eps'-lc.

---- 这句话只怕会出现在以往的练习集中.

---- Z 和 W 有blowup映射φ:W --> Z.

(以上基于起始多次观测到的近乎场所).

---- 则 W'' 是 eps'-lc toric weak Fano variety.

On the other hand, since W --> Z is a sequence of centre blowups of R which is toroidal with respect to , we havel 1≤μRφ*Θ, by Lemma 2.17.

---- Z 和 W' 有“违和” 映射ψ:W' --> Z.

ThenΔw' is effective as a≤1.

---- 于是 属于有界族.

---- 引理2.7待温习.

---- Z 和Θ 构成像配成对,对应 .

---- Step4末尾有 a≤ 1.Δ≥ D.

---- 从而 Kw'' 有 n-补Kw'' Ωw''.

---- 结合上句有:l 1≤μRφ*Θ≤1/u.

---- Z 和Ω构成n-补配对. 参Step5.

---- 但并不曾平昔提议a≤1.

---- 则 Kw' 有n-补Kw' Ωw',以及 Kz 有 n-补 Kz Ω .

Therefore,l≤p:=⌊1/u - 1⌋.

---- Z 和Θ,Ω 可组成复合支撑配成对(Z, Supp.

{温习:log discrepancy .

注:Step5 共两段, 触发点是:1. MMP ~> W'; 2.给 W' 找边界 的回拉).

---- 按刚上句有:l≤1/u - 1.

----Z 和Θ,Ω 还可组合复合配对.

---- 设主集结 X,配下边界 B,获得配成对.

讲评:Step5 的末段收获是Ω.

---- 但命题要整数上界,于是原来的小说对右端下取整.

---- R 和Θ 有关于ψ及φ的系数:μbirψ*Θ和μRφ*Θ.

---- 再引进另一群集W,构成 W --> X.

---- 附带1. 双有理态射 ψ: W' --> Z.

---- 下取整是因为l是正整数.

Step6 的逻辑关系:

---- 对运作格局 Kx B 做回拉得:Kw Bw.

---- 附带2. Ωw'.

总计:命题5.5申明读写完结.

  1. nΩ 整周到, degHiΩ = d 1 ==>(Z, Supp 属于有界族 ==> 存在u使 klt.

---- D 在 W 上关于 的 logdiscrepancy:

---- 另,ψ 有独一的 exceptional divisor, 即 bir.

先是段的落点是 W'.

2.Ωw' 非负 ==>μbirψ*Θ≤1/u ==>μRφ*Θ≤1/u.

a = 1 - μDBw.

小结:Step5 的轴心是做出关于 的 n-补.

1.. W --> Z 系 toric blowups 序列.

3.W --> Z {R, Z,Θ}cbt==>l 1≤μRφ*Θ. (Lemma 2.17).

---- Bw是回拉获得的边界.

---- Step3,4费周折只为造出全局的eps'-lc型,后面一个专项使用于导出 W'',进而获得Ω.

  1. 对终极以外的 exceptional divisors 求和.

  2. 在 Z 上方,对该和做 toric MMP 获得 W'.

  3. W' --> Z 系双有理态射.

4.l≤⌊1/u -1⌋.

---- 式中μDBw 是之类打开式的周详 d:

---- 而这一切仿佛只是为着获得越来越精致的上界(完美主义,or 另有暗意?).

注:W 和 W' 都是 toric variety.

  1. 取 p =⌊1/u -1⌋.

Bw = ... dD ...

---- 若只为获得blowups体系数的上界,有引理2.17就够了.

1.W' 预配成对,需找一边界.

---- 1 的落点是赢得 u.

D 可想象成坐标轴之一,d 则设想成相应坐标.

加温:Step6 图解.

  1. 主会集派出 Kw' 对外会谈.

  2. 找到Step4次之段的落点 .

  3. 对其运算形 Kz Δ 做回拉得 Kw' Δw'.

  4. 得边界Δw' (effective), 其负柄 -Kw' big.

  5. 前者上做MMP 得 W'' , 其负柄-Kw'’ nb.

  6. 和 皆为 eps'-lc 型.

  7. 由此 W'' 系 eps'-lc toric weak Fano variety.

  8. 则由[7], W'' 属于有界族.

  9. 则有 n>1 使得 |-nKw''| base point free;

  10. Kw'' 有 n-补 Kw'' Ωw'' .

  11. 由此得 Kw' 的 n-补 Kw' Ωw',

---- 2 的落点是终极的两样式.

---- 注意,定义供给 D 是 不可约的.}

---- Z 和 W 有blowup映射φ.

13 以及 Kz 的 n-补 Kz Ω .

---- 3 的落点是最后的不及式.

回去命题5.5 ...

---- Z 和 W' 有“违和”映射 ψ.

注:7. 未交待Δw'' 而直接使用.

---- 2, 3 抓五头拿走 4.

---- 好了, 是 eps'-lc型,则对每一个不可约除子P,都有 a≥eps'. 假定瑞虎是不可约的,则有a≥eps'.

---- Z 和 Θ 构成像配成对, log smooth, reduced.

---- 估算跟Δw' 的始末同样.

加评:原文的验证更像个大约,这里也只是符号化和系统化. 细节待考.

----Δ≥ D,可写作Δ = D δ.

---- Z 和 Ω 构成“n-补”配对.

注:11. klt 该是就相应配成对来说.

---- 依次写出该段涉及的符号和公式.

---- 但此间不可能用边界分配率.

---- Z 和Θ、Ω 可组合支撑配对(Z, Supp.

注:12. 原来的文章未明说但相应配成对也该是klt.

  1. degHᵢΩ= d 1

  2. (Z, Supp

  3. μRφ*Θ≤1/u

  4. W --> Z {R, Z,Θ}cbt

... 回到泛函 a 的定义.

----Z 和Θ、Ω 还可组成复合配成对.

----- Z ------

10.l 1≤μRφ*Θ

----a = 1 -μRΔw'.

---- R和Θ关于ψ 和φ有系数 μbirψ*Θ 和μRφ*Θ.

注:整个表明是从左到右发展,再从右到左回来.

11.l≤p: =⌊1/u -1⌋

----μHavalΔw' 是之类张开式的周密 r:

  1. nΩ 整全面,degHiΩ = d 1 ==>(Z, Supp 属于有界族==> 存在u,使得klt.
  1. 从W 到 W' 是对 “违和” 做MMP.

  2. 从W' 到 W'' 是对 “负柄” 做MMP.

  3. W' 的负柄 big,而 W'' 的负柄 nb (nef&big).

  4. W, W', W'' 均 toric; 和 均eps'-lc.

  5. W'' 系 eps'-lc toric Weak Fano,属于有界族.

  6. 推出 Kw'' 的n-补后,反推出 Kw' 和 Kz 的n-补.

注:6和9是依附原来的书文描述引进的.

Δw'= ... rR ...

2.Ωw' 非负 ==>μbirψ*Θ≤1/u ==>μRφ*Θ≤1/u.

注意:Z, W', W'' 都跟 Δ配对,W 从未和Δ配对.

数一数大写字母的个数:

---- 由配对的类型,知道 r≤1- eps'.

  1. W --> Z{R, Z,Θ}cbt==>l 1≤μRφ*Θ.

  2. 由 2 和 3得:l ≤⌊1/u -1⌋.

  3. 取 p =⌊1/u -1⌋.

“违和” ---- 指 blowups 体系 W-->Z 尾巴部分以外的 exceptional divisors 求和.

Ω 5 全出现在前5个条款.

---- eps'=eps, t∈, 且 eps≤ 1.

如上逻辑的七个“触发点”:

“负柄” ---- 指主集合的“权柄”之相反数.

讲评:前八个暗号起到关键作用.

---- 由此,eps'<1/4.

nΩ ~ Hi~> u.

“权柄” ---- 如,主集结为 W',则“权柄”是指 Kw'.

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

---- r 的上界是1以内的正数,但 r 是或不是为正?

Ωw'~>μRφ*Θ≤1/u.

注:“定制”指供个人利用,不作为正式名词.

Glossary

Abstract8/4

Introduction

Boundedness of singular Fano varieties 8/5

Boundedness of singular Fano varieties 8/6

Boundedness ofsingularFano varieties 8/7

Boundedness ofsingularFano varieties 8/8

Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

Boundedness ofsingularFanovarieties8/9

Jordan property of Cremona groups8/10

Lc thresholds of lR-linear systems 8/11

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/12

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/13

Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14

Complements near a divisor8/15

Proposition 5.211/9

Proposition 5.511/5

讲评:一时半刻一时申明不了a≤1.

W~>l 1≤μRφ*Θ.

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

---- 但上边温习中附带搞清了 “lc place”*的概念.

评说:Step6的“轴心”是第多个触发点.

Glossary

Abstract8/4

Introduction

Boundedness of singular Fano varieties 8/5

Boundedness of singular Fano varieties 8/6

Boundedness ofsingularFano varieties 8/7

Boundedness ofsingularFano varieties 8/8

Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

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Jordan property of Cremona groups8/10

Lc thresholds of lR-linear systems 8/11

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/12

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/13

Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14

Complements near a divisor8/15

Proposition 5.211/9

Proposition 5.511/5

Moreover, -Kw' is big by construction.

---- 前五个使结果越来越精致.

---- “big” 已数次并发,但不知情指什么?

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

---- 刚查到四个概念*

Glossary

Abstract8/4

Introduction

Boundedness of singular Fano varieties 8/5

Boundedness of singular Fano varieties 8/6

Boundedness ofsingularFano varieties 8/7

Boundedness ofsingularFano varieties 8/8

Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

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Jordan property of Cremona groups8/10

Lc thresholds of lR-linear systems 8/11

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/12

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/13

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Complements near a divisor8/15

Proposition 5.211/9

Proposition 5.511/5

Abig line bundleLonXof dimensionnis a line bundle such that图片 9

---- 太复杂了,只看到它是某种line bundle.

---- 点开句子早先的链接,有越多解释*:

Aline bundleisbigif it is of maximal Iitaka dimension, that is, if its Iitaka dimension is equal to the dimension of the underlying variety. Bigness is abirationalinvariant: Iff: Y → Xis a birational morphism of varieties, and ifLis a big line bundle onX, thenf**L*is a big line bundle on*Y*.

Allample line bundlesare big.

Big line bundles need not determine birational isomorphisms ofXwith its image. For example, ifCis ahyperelliptic curve(such as a curve of genus two), then itscanonical bundleis big, but the rational map it determines is not a birational isomorphism. Instead, it is a two-to-one cover of thecanonical curveofC, which is arational normal curve.

冲突:那一个对驾驭当下句子用处相当的小.

---- 可能是 eps'-lc 以及 a≤1 引起 “-Kw' is big” .

Now run an MMP on -Kw' and let W'' be the resulting model.

---- Kw' 是 W' 的“柄”.

---- 日常“主簇”总是通过“柄”对外议和.

---- 常常地,侧向于采用“负柄”.

---- 此处注明,MMP 成效于“负柄”是惯用手法.

---- 公式化:MMP =主簇2.

Again, W'' is a toric variety, and -Kw'' is nef and big.

---- 主簇2 保持主簇的属性.

---- 主簇2 的负柄 增加了 nef 属性.

Moreover, since is eps'-lc, (W'', Δw'') is eps'-lc too.

---- 以前未表达 是 eps'-lc 型.

---- 那也是一种做法.

---- 但权且看不出明显在哪个地方.

Thus W'' is an eps'-lc toric weak Fano variety.

---- 到达三个关键点:归到 toric 式的 eps'-lc 型弱法诺簇.

注:最早的作品没有用大篆,这里作为重申之用.

Now by [7], W'' belongs to a bounded family of varieties depending only on d, eps'.

---- W'' 属于有界族.

---- [7] 该是提议BAB估摸的小说.

---- 标题是“Singular toric Fano varieties”.

Therefore, there is a natural number n > 1 depending only on d, eps' such that |-nKw''| is base point free, in particular, Kw'' has an n-complement Kw'' Ωw'' which is klt.

---- 属于有界族 ==> klt n-补?

---- “base point free” 头一次见到.

---- 也许Sect.3 提到过..

This in turn gives an n-complement Kw' Ωw' of Kw', hence an n-complement Kz Ωof Kz which is klt.

---- 通过“传递效应” 最终得到 Kz 的 n-complement.

---- 转了一圈,给Z空间带回到个n-complement.

---- 这里的 Z 空间是 lPᵈ= ProjC[t0,...,td].

小结:Step5 第二段的落点是找到Kz的n-complement,触发点是对 -Kw' 做MMP (-Kw' 是对 Kz Δ 做回拉获得,具备属性“big”).

复习:Step5.率先段. 接Step2,像空间得到的 toric blowups 种类,其最后的 W 是 toric variety. 后面部分以上的 exceptional divisor 求和,并对其做 MMP,获得 W' 也是 toric variety,同有毛病间产生双有理态射ψ: W' --> Z. 极度地,XC60的双有理转变是ψ 的只有 exceptional divisor. (注:MMP 压缩了 blowups 连串中尾巴部分以上的持有 exceptional divisors).

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

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Boundedness ofsingularFano varieties 8/8

Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

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Complements near a divisor8/15

Proposition 5.211/9

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